ヒント集 - 試験 00013

対象学習者: ひかりさん

使い方

• 問題を読んで、自分で考えてみる

• 行き詰まったら、このヒントを参考にする

• わかる部分だけでも取り組んでみる

• 高校で習う内容は「こういうものがあるんだ」と知るだけでもOK

ポイント: 今の知識で「部分的にでも理解できる部分」を探してみましょう。

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Q1 のヒント（微分・積分）

高校内容ですが、部分的に挑戦できます

何を学ぶ分野か

• 微分: 関数の「変化の様子」を調べる（グラフの傾きを求める）

• 積分: グラフと軸で囲まれた「面積」を求める

今の知識でできること

(1) 極値を求める:

• まだ習っていない「微分」という計算が必要です

• $f'(x) = 3x^2 - 6x$ という式を作り、$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します

• これは中学で習う「2次方程式」に似ています

(2) $x$ 軸との交点を求める:

• $f(x) = 0$ を解きます → $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

• 因数定理を使います: $f(1) = 0$ なので、$(x-1)$ で割り切れます

• これは中学入試の「整数問題」と似た考え方です

アプローチ

• グラフを描くイメージを持つと理解しやすいです

• $x = 0, 1, 2, 3$ のときの $f(x)$ の値を計算してみましょう

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Q2 のヒント（確率・数列）

一部は中学入試の知識で理解できます

何を学ぶ分野か

• 確率: ある事象が起こる割合

• 漸化式: 「次の値が前の値でどう決まるか」を表す式

• 極限: 無限に続けたときの値

今の知識でできること

(1) $p_1, p_2, p_3$ を求める:

• これは場合分けして数える問題（中学入試で頻出）

• $n=1$: 赤を引く確率は $\frac{2}{5}$

• $n=2$: (赤,赤)、(赤,白)、(白,赤)、(白,白) の4パターンを考える

• 「赤>白」になるのはどのパターンか?

アプローチ

• 樹形図を描いてみる

• 各パターンの確率を計算する

• 条件を満たすものを足し合わせる

(2)と(3)は高校内容: 漸化式と極限の計算が必要です。

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Q3 のヒント（空間図形・ベクトル）

中学入試の空間図形に近い内容です！

何を学ぶ分野か

• ベクトル: 向きと大きさを持つ量（矢印のイメージ）

• 内積: 2つのベクトルの関係を表す計算

今の知識でできること

(1) 辺ABの長さ:

• $|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$ という公式を使います

• 展開すると: $|\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

• 与えられた値を代入: $3^2 - 2 \times 3 + 2^2 = 9 - 6 + 4 = ?$

(2) 三角形OABの面積:

• $\cos\theta$ を内積から求める: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

• $\sin\theta$ を $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ から求める

• 面積 = $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

アプローチ

• 立体をイメージして図を描いてみる

• 既知の三角形の公式（面積、体積）が使えないか考える

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Q4 のヒント（整数）

中学入試の整数問題と近い内容です！

何を学ぶ分野か

• 不定方程式: 解が無数にある方程式

• 合同式: 「割った余りで考える」数学

今の知識でできること

(1) 整数解を1組求める:

• 試行錯誤で探せます！

• $13 \times ?$ と $17 \times ?$ を調整して、差が1になるものを探す

• ヒント: $13 \times 4 = 52$、$17 \times 3 = 51$ → 差は1!

(2) すべての整数解:

• (1)で1組見つかったら、そこから周期的にずらしていきます

• 一般解: $x = x_0 + 17k$, $y = y_0 - 13k$ ($k$は整数)

(3) 証明問題:

• 「30で割り切れる」= 「5でも6でも割り切れる」

• $13 \equiv 3 \pmod{5}$、$17 \equiv 2 \pmod{5}$ のように考えます

アプローチ

• (1)は実験的に試す

• (2)はパターンを見つける

• (3)は「余りで分類」する考え方（合同式）

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Q5 のヒント（複素数平面）

高校内容ですが、座標平面として考えられます

何を学ぶ分野か

• 複素数: $a + bi$ という形の数（$i$ は特殊な数）

• 複素数平面: 複素数を座標平面上の点として表す

今の知識でできること

(1) 軌跡を図示:

• $|z - 1| = |z - i|$ は「点1と点$i$から等距離にある点」

• これは「2点の垂直二等分線」です（中学で習った内容！）

• $z = x + yi$ として計算すると、直線の式が求まります

(2) 交点を求める:

• (1)の直線と、円 $|z| = 1$（原点中心、半径1）の交点

• これは「直線と円の交点」を求める問題（中学数学）

アプローチ

• $z = x + yi$ とおく

• $|z - 1| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$、$|z - i| = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

• 両辺を2乗して整理する

(3)は高校内容: $w = z^2$ の性質（偏角が2倍になる）を使います。

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ひかりさんへのメッセージ

中学入試のカリキュラムで学んだ内容が、東大数学の土台になっています。

特に以下の分野は直結しています：

すでに持っている強み:

• 場合分けと論理的思考（確率問題に活きる）

• 空間図形の把握力（ベクトルに活きる）

• 整数問題の試行錯誤力（不定方程式に活きる）

• 座標平面の理解（複素数平面に活きる）

IT系の知識を活かそう:

• Q2の漸化式は「プログラムのループ」と似ています

• Q4の合同式は「mod演算（剰余）」と同じ考え方です

これから学ぶと良いこと:

• 中学数学: 文字式、方程式、関数、図形の証明

• 高校数学: 微分積分、ベクトル、確率、整数論

記憶力が高いことは数学でも大きな武器です。

公式や定理を覚えるだけでなく、「なぜそうなるか」を理解すると、

応用力がさらに伸びます。頑張ってください！🚀