ヒント集 - 試験 00013

対象学習者: てつやさん

使い方

• まず自分で10分程度考える

• 方針が立たない場合のみ参照

• ヒントは「考えるきっかけ」であり、答えは記載されていません

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Q1 のヒント（微分・積分）

アプローチ

• (1) $f'(x) = 0$ の解を求める（2次方程式）

• (2) $f(x) = 0$ の解を因数定理で求め、定積分で面積計算

• (3) 接線の式を立て、原点を通る条件から $t$ を決定

• (4) 接線と曲線の交点を求めて積分

数値計算のヒント

• 3次関数の積分: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

• 面積は絶対値で取る: $\left| \int_a^b f(x) dx \right|$

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Q2 のヒント（確率・数列）

アプローチ

• (1) 状態空間: (赤の数, 白の数) のペアで考える

• (2) 漸化式: $p_{n+1}$ を $p_n$ と補助的な確率で表現

- 補助変数: $q_n$ = 「$n$ 回目で赤=白」の確率

• (3) 特性方程式または母関数を使って極限を求める

プログラム的な理解

```python

疑似コード

def p(n):

if n == 1:

return 2/5 # 赤を引く確率

else:

# 状態遷移を考える

return ...

```

キーポイント

• マルコフ連鎖的な状態遷移

• 極限: $\lim_{n \to \infty} p_n$ は定常分布

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Q3 のヒント（空間図形・ベクトル）

アプローチ

• (1) ベクトルの差: $|\vec{AB}| = |\vec{b} - \vec{a}|$

• (2) 内積と外積の関係: $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

• (3) 射影の考え方: $h = \frac{V}{\frac{1}{3} S_{\triangle OAB}}$

• (4) スカラー三重積: $V = \frac{1}{6}|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

行列的アプローチ（参考）

グラム行列を使うと、外積の大きさを計算せずに面積・体積が求まります。

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Q4 のヒント（整数）

アプローチ

• (1) 拡張ユークリッドの互除法（GCD(13, 17) = 1 より解が存在）

- アルゴリズム的には逆向きに辿る

• (2) 一般解: $(x, y) = (x_0, y_0) + k(17, -13)$ ($k \in \mathbb{Z}$)

• (3) 合同式による証明

- $\bmod 30$ を $\bmod 5$ と $\bmod 6$ に分解（中国剰余定理の逆）

- $13 \equiv -17 \pmod{30}$ は使えるか?

プログラム的な理解

```python

拡張ユークリッド互除法

def extended_gcd(a, b):

if b == 0:

return a, 1, 0

else:

gcd, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)

x = y1

y = x1 - (a // b) * y1

return gcd, x, y

```

キーポイント

• $\gcd(13, 17) = 1$ なので Bézout の等式が成立

• 合同式: $a \equiv b \pmod{m}$ は $a \bmod m = b \bmod m$

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Q5 のヒント（複素数平面）

アプローチ

• (1) $|z - 1| = |z - i|$ → 2点の垂直二等分線

- 複素数表記: $z = x + yi$ で実部・虚部を分離

• (2) 直線と円の交点（連立方程式）

• (3) $w = z^2$ の幾何的意味

- 極形式: $z = re^{i\theta}$ → $w = r^2 e^{2i\theta}$

- 偏角が2倍、絶対値が2乗

複素数の幾何的操作

• 回転: $z \to e^{i\alpha} z$

• 拡大: $z \to kz$ ($k \in \mathbb{R}$)

• 2乗: 偏角が2倍になるので、直線は放物線のような曲線になる

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一般的なアドバイス

東大数学の特性

• 単元横断型の思考力を試す

• 典型問題の変形が多い

• 部分点戦略が重要

てつやさんの強み（物理・数学・情報）を活かす

• 物理的直感: ベクトル問題は力のモーメントや座標系と類似

• 数学的厳密さ: 証明問題では論理の飛躍を避ける

• アルゴリズム的思考: 整数問題・確率問題でプログラム的に考える

情報系の知識との対応

| 数学概念 | 情報系の対応 |

|---------|-------------|

| 確率漸化式 | 状態遷移確率、マルコフ連鎖 |

| 不定方程式 | ユークリッド互除法、GCD/LCM |

| 合同式 | モジュロ演算 (a % m) |

| 複素数の回転 | 2D座標変換、回転行列 |

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復習のポイント

• 解答を見る前に、別解を探す

• 計算量・時間複雑度を考える（試験では30分/問）

• エレガントな解法を追求する

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Good luck!