ヒント集 - 試験 00013

対象学習者: 文さん

使い方

• まず自分で10分程度粘って考える

• 方針が立たない場合のみ、該当問題のヒントを参照

• ヒントを見たら、再び自分で考えて解く

重要: このヒントには答えは記載されていません。あくまで考えるきっかけです。

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Q1 のヒント（微分・積分）

アプローチ

• (1) 極値: $f'(x) = 0$ を解く

• (2) 面積: まず $f(x) = 0$ の解を因数定理で求める

• (3) 接線: 点 $(t, f(t))$ における接線が $(0, 0)$ を通る条件

• (4) 接線と曲線の交点を求めて積分

キーポイント

• 因数定理: $f(a) = 0$ ならば $(x-a)$ で割り切れる

• 接線の式: $y - f(t) = f'(t)(x - t)$

• 面積は「上の関数 - 下の関数」を積分

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Q2 のヒント（確率・数列）

アプローチ

• (1) 小さい $n$ では直接数える（樹形図または場合分け）

• (2) 漸化式: $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す（状態遷移を考える）

• (3) 漸化式を解いて一般項を求め、極限を取る

キーポイント

• 確率漸化式: 次の状態が今の状態にどう依存するか

• 特性方程式: $p_{n+1} = ap_n + b$ の形になったら使える

• 極限: $|r| < 1$ のとき $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$

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Q3 のヒント（空間図形・ベクトル）

アプローチ

• (1) $|\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2$

• (2) 内積から $\cos\theta$ を求め、$\sin\theta$ を導出して面積公式へ

• (3) 体積から逆算、または平面の方程式から距離を求める

• (4) スカラー三重積 $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ または (2)×(3)÷3

キーポイント

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

• $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

• 四面体の体積 = $\frac{1}{3} \times$ 底面積 $\times$ 高さ

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Q4 のヒント（整数）

アプローチ

• (1) 拡張ユークリッドの互除法、または試行錯誤

- ヒント: $13 \times 4 - 17 \times 3 = ?$

• (2) 特殊解に一般解の形を加える: $x = x_0 + 17k$, $y = y_0 - 13k$

• (3) 合同式を使う

- $30 = 5 \times 6$ なので、mod 5 と mod 6 で両方0になることを示す

- $13 \equiv -2 \pmod{5}$, $17 \equiv 2 \pmod{5}$

- $13 \equiv 1 \pmod{6}$, $17 \equiv -1 \pmod{6}$

キーポイント

• 不定方程式の一般解: 特殊解 + 周期的なシフト

• 合同式: $a \equiv b \pmod{m}$ は「$a$ と $b$ を $m$ で割った余りが等しい」

• $n$ が奇数と偶数で場合分けを検討

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Q5 のヒント（複素数平面）

アプローチ

• (1) $|z - 1| = |z - i|$ は「点 1 と点 $i$ から等距離」→ 垂直二等分線

- $z = x + yi$ として実部・虚部で式を立てる

• (2) (1)の直線と円 $|z| = 1$ の交点を求める

• (3) $w = z^2$ のとき、$z$ が直線上を動くと $w$ はどう動くか

- 極形式 $z = re^{i\theta}$ で表すと、$w = r^2 e^{2i\theta}$（偏角が2倍）

キーポイント

• 複素数の絶対値: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

• 2点から等距離 → 垂直二等分線

• 極形式と直交座標を使い分ける

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一般的なアドバイス

東大数学の特徴

• 単元横断: 複数分野の知識を組み合わせる

• 論述重視: 方針と論理展開を明確に

• 部分点戦略: 完答できなくても方針を示す

解法のアプローチ

• 既知の問題に帰着できないか考える

• 小問の誘導を活用する

• 図を描いて視覚化する

文さんの強み（記憶力・演繹的推論）を活かす

• 公式・定理を正確に思い出す

• 論理の流れを明確に追う

• 既知の知識から新しい結論を導く

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復習のポイント

解けなかった問題は：

• 解答を見る前に、もう一度ヒントだけで考える

• 「なぜその方針を思いつくべきだったか」を振り返る

• 類似問題を探して解く

• 1週間後に再度挑戦する

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Good luck!