東京大学レベル 数学

Q1. (20点)

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ の極値を求めよ。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

(3) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線が原点を通るとき、$t$ の値をすべて求めよ。

(4) (3)で求めた接線と曲線 $y = f(x)$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

Q2. (20点)

袋の中に赤玉2個、白玉3個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を繰り返す。

$n$ 回目の試行後に、それまでに取り出した赤玉の個数が白玉の個数より多い確率を $p_n$ とする。

(1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。

(2) $p_n$ と $p_{n+1}$ の関係式を求めよ。

(3) $\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。ただし、必要ならば以下の極限を用いてよい。

$$\lim_{n \to \infty} n \cdot r^n = 0 \quad (|r| < 1)$$

Q3. (20点)

四面体 $OABC$ において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とする。
ただし、$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, $|\vec{c}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$, $\vec{b} \cdot \vec{c} = 6$, $\vec{c} \cdot \vec{a} = 4$ とする。

(1) 辺 $AB$ の長さを求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積を求めよ。

(3) 点 $C$ から平面 $OAB$ に下ろした垂線の長さを求めよ。

(4) 四面体 $OABC$ の体積を求めよ。

Q4. (20点)

(1) 不定方程式 $13x + 17y = 1$ の整数解を1組求めよ。

(2) 不定方程式 $13x + 17y = 100$ のすべての整数解を求めよ。

(3) $n$ を正の整数とするとき、$13^n + 17^n$ が30で割り切れることを証明せよ。

Q5. (20点)

複素数平面上の点 $z$ が次の条件を満たすとする。

$$|z - 1| = |z - i|$$

(1) この条件を満たす点 $z$ の軌跡を図示せよ。

(2) さらに $|z| = 1$ を満たす点 $z$ をすべて求めよ。

(3) 点 $w = z^2$ が描く図形を求めよ。ただし、$z$ は(1)の条件を満たすものとする。